সুপারপজিশন থিওরেম ও এটি ব্যবহার করে কিছু গাণিতিক সমস্যার সমাধান

সুপারপজিশন থিওরেম ব্যবহার করে একাধিক সোর্স থাকা কোন সার্কিট সরল করে সমাধান করা হয়। 

সুপারপজিশন থিওরেম

একাধিক উৎস বিশিষ্ট কোন সার্কিটের কোন শাখার মোট কারেন্ট বা ভোল্টেজ উক্ত সার্কিটে পৃথক পৃথক উৎসের কারনে ঐ শাখার কারেন্ট বা ভোল্টেজ গুলোর যোগফলের সমান।

সুপারপজিশন থিওরেম ব্যবহারের নিয়ম

1. যেকোনো একটি উৎস বিবেচনা করতে হবে।
2. অন্যান্য ভোল্টেজ সোর্স শর্ট করতে হবে এবং কারেন্ট ওপেন করতে হবে।
3. বিবেচ্য সোর্সের জন্য আলোচ্য শাখার কারেন্ট,  ${\mathit{I}}_1\prime$ বের করতে হবে।
4. এভাবে পৃথক পৃথক সোর্সের জন্য উক্ত শাখার কারেন্ট ${\mathit{I}}_1\prime ,\mathrm{ }\mathrm{ }{\mathit{I}}_1\prime \prime ,\mathrm{ }\mathrm{ }{\mathit{I}}_1\prime \prime \prime ,\mathrm{ }\mathrm{ }.....$ বের করতে হবে।
5. আলোচ্য শাখার মধ্য দিয়ে প্রবাহিত কারেন্টের মান, $\mathit{I}={\mathit{I}}_1\prime +{\mathit{I}}_1\prime \prime +{\mathit{I}}_1\prime \prime \prime .....$

সুপারপজিশন ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান

সমস্যা-১: নিচের সার্কিট হতে সুপারপজিশন পদ্ধতি ব্যবহার করে ${\mathit{I}}_1$ ও ${\mathit{I}}_2$ এর মান বের করতে হবে।

সমাধান:

1. সার্কিটে প্রথমে 2V  সোর্সকে সক্রিয় ধরলে সমতুল্য সার্কিট দাঁড়ায়_ 
   
2. এক্ষেত্রে ${\mathit{I}}_1\prime =\frac{2}{{\mathit{R}}_{\mathit{T}}}$
   ${\mathit{R}}_{\mathit{T}}={\mathit{R}}_1+\left\{{\mathit{R}}_2\mathrm{}||\left({\mathit{R}}_3+{\mathit{R}}_4\right)\right\}$
   $=1+\left\{2\mathrm{}||\left(3+4\right)\right\}$
   $=1+1.56$
   $=2.56\mathrm{}\mathit{\Omega }$
   $\therefore \mathrm{}{\mathit{I}}_1\prime =\frac{2}{2.56}=0.78\mathit{A}(⇧)$
   $\mathit{এ}\mathit{ব}\mathit{ং}\mathrm{}\mathrm{}{\mathit{I}}_2\prime =\frac{0.78\mathit{x}\left(3+4\right)}{\left(2+3+4\right)}=0.61\mathit{A}(⇩)$
3. আবার সার্কিটে 5A সোর্সকে সক্রিয় ধরলে সমতুল্য সার্কিট দাঁড়ায়_ 
   
4. এক্ষেত্রে ${\mathit{I}}_1\prime \prime$ ও ${\mathit{I}}_2\prime \prime$ বের করার জন্য ${\mathit{I}}_3\prime \prime$ প্রয়োজন
   ${\mathit{I}}_3\prime \prime =\frac{5\times {\mathit{R}}_4}{\left\{\left({\mathit{R}}_1\mathrm{}||{\mathit{R}}_2\right)+{\mathit{R}}_3\right\}+{\mathit{R}}_4}$
   $\prime =\frac{5\times 4}{\left\{\left(1\mathrm{}||2\right)+3\right\}+4}$$=2.61\mathit{A}$
   $\therefore \mathrm{}{\mathit{I}}_2\prime \prime =\frac{{\mathit{I}}_3\times {\mathit{R}}_1}{{\mathit{R}}_1+{\mathit{R}}_2}$$=\frac{2.61\times 1}{1+2}$$=0.87\mathit{A}(⇩)$
   $\therefore \mathrm{}{\mathit{I}}_1\prime \prime =\frac{{\mathit{I}}_3\times {\mathit{R}}_2}{{\mathit{R}}_1+{\mathit{R}}_2}$$=\frac{2.61\times 2}{1+2}$$=1.74\mathit{A}(⇩)$
5. সুতরাং ${\mathit{I}}_1$ ও ${\mathit{I}}_1$ এর মান নিম্নোক্ত নিয়মে বের করা যায়_ 
   $\therefore \mathrm{}{\mathit{I}}_1={\mathit{I}}_1\prime +{\mathit{I}}_1\prime \prime =0.78\mathit{A}(⇧)+1.74\mathit{A}(⇩)$$=1.74\mathit{A}(⇩)-0.78\mathit{A}(⇩)$$=0.96\mathit{A}(⇩)\left(\mathit{A}\mathit{n}\mathit{s}.\right)$
   $\therefore \mathrm{}{\mathit{I}}_2={\mathit{I}}_2\prime +{\mathit{I}}_2\prime \prime =0.61\mathit{A}(⇩)+0.87\mathit{A}(⇩)$$=1.48\mathit{A}(⇩)\left(\mathit{A}\mathit{n}\mathit{s}.\right)$

$+\mathit{V}\mathit{e}$ ও $-\mathit{V}\mathit{e}$ দিক বোঝানোর জন্য এখানে (⇩) ও (⇧) চিহ্ন গুলো ব্যবহার করা হয়েছে।

সমস্যা-২: নিচের সার্কিট হতে $3\mathrm{}\mathit{\Omega }$ রেজিসটরের ভোল্টেজ ড্রপ বের করতে হবে।

ধরি, 3Ω রেজিসটরের মধ্য দিয়ে প্রবাহিত কারেন্ট ${\mathit{I}}_3$

যখন 20V সক্রিয় থাকবেঃ

সমতুল্য সার্কিট দাঁড়ায় 

$\therefore \mathrm{}{\mathit{I}}_3\prime =\frac{20}{\left\{{\mathit{R}}_4\mathrm{}||\left({\mathit{R}}_1+{\mathit{R}}_2\right)\right\}+{\mathit{R}}_3}$ $=\frac{20}{\left\{6\mathrm{}||\left(1+2\right)\right\}+3}$ $=\frac{20}{\left\{6\mathrm{}||3\right\}+3}$$=\frac{20}{2+3}$$=4\mathit{A}(⇩)$

যখন 20A সক্রিয় থাকবেঃ

সমতুল্য সার্কিট দাঁড়ায়

বা, 

${\mathit{I}}_3$ বের করতে হলে প্রথমে ${\mathit{I}}_2$ প্রয়োজন

$\therefore \mathrm{}{\mathit{I}}_2\prime \prime =\frac{20\times {\mathit{R}}_1}{{\mathit{R}}_1+\left\{{\mathit{R}}_2+\left({\mathit{R}}_3\mathrm{}||{\mathit{R}}_4\right)\right\}}$ $=\frac{20\times 1}{1+\left\{2+\left(3\mathrm{}||6\right)\right\}}$ $=\frac{20}{1+2+2}$ $=4\mathit{A}$

$\therefore \mathrm{}{\mathit{I}}_3\prime \prime =\frac{{\mathit{I}}_2\times {\mathit{R}}_4}{{\mathit{R}}_3+{\mathit{R}}_4}$ $=\frac{4\times 6}{3+6}$ $=2.67\mathit{A}(⇧)$ 

যখন 15A সক্রিয় থাকবেঃ

সমতুল্য সার্কিট দাঁড়ায়

বা, 

এক্ষেত্রে ${\mathit{I}}_3$ বের করতে হলে ${\mathit{R}}_1$ এর মধ্য দিয়ে প্রবাহিত কারেন্ট, ${\mathit{I}}_1$ জরুরী

$\therefore \mathrm{}{\mathit{I}}_1\prime \prime \prime =\frac{15\times {\mathit{R}}_2}{{\mathit{R}}_2+\left\{{\mathit{R}}_1+\left({\mathit{R}}_3\mathrm{}||{\mathit{R}}_4\right)\right\}}$ $=\frac{15\times 2}{2+\left\{1+\left(3\mathrm{}||6\right)\right\}}$ $=\frac{15}{2+1+2}$ $=3\mathit{A}$

$\therefore \mathrm{}{\mathit{I}}_3\prime \prime \prime =\frac{{\mathit{I}}_1\times {\mathit{R}}_4}{{\mathit{R}}_3+{\mathit{R}}_4}$ $=\frac{3\times 6}{3+6}$ $=2\mathit{A}(⇩)$

এখন সবগুলো পাওয়ার সোর্স যখন সক্রিয় থাকবে তখন সুপারপজিশন থেওরেম অনুযায়ী পাওয়া যাবে,

${\mathit{I}}_3={\mathit{I}}_3\prime +{\mathit{I}}_3\prime \prime +{\mathit{I}}_3\prime \prime \prime$ $=4\mathit{A}(⇩)+2.67\mathit{A}(⇧)+2\mathit{A}(⇩)$ $=3.3\mathit{A}$

সুতরাং ${\mathit{R}}_3$ এর আড়াআড়িতে ভোল্টেজ ড্রপ, ${\mathit{V}}_3={\mathit{I}}_3\times {\mathit{R}}_3$ $=3.3\times 3$$=9.9\mathit{V}(⇧)\left(\mathit{A}\mathit{n}\mathit{s}.\right)$